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力学能(Mechanical energy)

2020-06-19 | 浏览: 4370


定义

或译为机械能,为动能与位能的总和,位能即常见之重力位能、电力位能及弹性位能等保守力造成之位能,其单位为焦耳$$(J)$$,且仅有大小而无方向,若一物体含有越多的位能则代表它能够对其他物体做越多功(work)。

力学能守恆

力学能的定义为位能 $$U$$ 与动能 $$E_k$$ 之总和,即 $$E_{mechanical}=U+E_k$$

动能与位置无关,仅与物体之质量 $$m$$ 与速度 $$v$$ 有关,定义为 $$E_k=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2$$

位能仅与物体在保守力场中之位置有关,从 $$\vec{x_1}$$ 移动到 $$\vec{x_2}$$ 的位能变化可表示为

$$\displaystyle \Delta U=-\int_{\vec{x_1}}^{\vec{x_2}} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{x}$$

$$\vec{F}$$ 为物体在力场中所受的力。位能为一相对量,所以必须选定一参考位置做为基準。所谓力学能守恆,是一系统若不受外力作功(即无能量进出该系统,包含其内部的化学反应),其内部的动能与位能总合会维持不变。常见系统如理想上之弹簧系统、自由落体、单摆等。

力学能(Mechanical energy)

图一

以图一的系统来说(球在 $$P_1P_2P_3$$ 三点间来回运动,假设球不滚动,且忽略所有摩擦力):

球在 $$P_1$$ 处之状态为 $$E_k+U=0+mgh_1$$   $$P_2$$ 处之状态为 $$E_k+U=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2+0$$

$$P_3$$ 处之状态为 $$E_k+U=0+mgh_2$$

由 $$P_1$$ 到 $$P_2$$ 的过程中,系统内的位能逐渐转换为动能;

而由 $$P_2$$ 运动到 $$P_3$$ 的过程则动能转换为位能。

由力学能守恆可得 $$\displaystyle mgh_1=\frac{1}{2}mv^2=mgh_2$$

 即 $$h_1=h_2$$,也可求出 $$v=\sqrt{2gh_1}=\sqrt{2gh_2}$$

人造卫星

力学能(Mechanical energy)人造卫星的运行也牵涉到力学能守恆之应用

假设一人造卫星质量为 $$m$$,地球质量为 $$M$$,位于距离地心 $$r$$ 的位置,速度为 $$v$$,

此时其力学能可写成 $$E_{mechanical}=\displaystyle U+E_k=-\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}mv^2$$

若人造卫星依圆形轨道运行,则可视为等速率圆周运动,

将向心力表示成:$$\displaystyle F=\frac{GMm}{r^2}=ma=m\frac{v^2}{r}$$

代入可将其简化为 $$E_{mechanical}=\displaystyle -\frac{GMm}{r}+\frac{1}{2}m \frac{GM}{r}=-\frac{GMm}{2r}$$

且可得到 $$\displaystyle -\frac{1}{2}U=E_k$$ 的性质。

弹簧振荡

力学能(Mechanical energy)

图二

常见的弹簧振荡也能用力学能守恆解释,假设图二中物体质量为 $$m$$,在平衡点之速率为 $$v$$,且弹簧弹力常数为 $$k$$,其位能可分为弹力位能 $$U_s$$ 与重力位能 $$U_g$$。

若忽略其他阻力,则平衡点之力学能可表示为:$$\displaystyle U_s+U_g+E_k=\frac{1}{2}kx^2+mgy+\frac{1}{2}mv^2$$

上端点之力学能可表示为:$$\displaystyle U_s+U_g+E_k=\frac{1}{2}k(x-y)^2+mgy+0$$

下端点之力学能可表示为:$$\displaystyle U_s+U_g+E_k=\frac{1}{2}k(x+y)^2+0+0$$

除了上述几项应用,力学能守恆也常存在于生活中:例如单摆的两端点会趋近等高;溜滑梯的过程中位能转变为动能而使人的速度逐渐加快等等都是例子。然而在现实情况下,可能会有摩擦力等非保守力的介入,这些非保守力对系统做功,会使得力学能转变成其他能量形式耗散,此时便必须考虑功能原理,将非保守力的作功也计入,进而使总能量不变(即热力学第一定律所涵盖的能量守恆)。

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